الأفكار المهمة في موضوع تركيب التطبيقات " ثالثاً "

ثالثاً : إيجاد مدى التركيب للتطبيقات المعطاة على شكل ازواج مرتبة وليس بقاعدة اقتران 

وهكذا سؤال سهل جداً فما عليك سوى رؤية العنصر في الزوج المرتب حيب الدالة ومعرفة المسقط الثاني له ليكون هو الصورة والنتيجة
لنأخذ المثال التالي

مثال //
لتكن المجموعة

A={1,2,3}, 

  f:A → A و g: A → A,وكان 

بحيث أن
f = { (1,3) , (3,3) , (2,3) }
g = {(3,1) , (1,2) , (2,3) }
 جد  

الحل // 

طبعاً من هذا المثال نلاحظ وبوضوح ان 

 تمرين تترك اجابته لكم 

الأفكار المهمة في موضوع تركيب التطبيقات " ثانياً "

ثانياً : إيجاد مدى التركيب للتطبيقات 

قد يكون السؤال عبارة عن ايجاد مدى تركيب تطبيقين معطيين ضمن السؤال عندها يجب ان نبدأ بجميع عناصر المجال للدالة الأقرب كما في المثال التالي

مثال //
ليكن لدينا التطبيقين  f:{1,2,3} → N و g: N → N,
بحيث أن : 

جد مدى 

الحل //
سنقوم بإدخال عناصر مجال اقرب دالة والتي تمثل هنا f  للتركيب  

لنأخذ العنصر الاول عندما x=1 

والآن سنجد صورة العنصر 1 تحت تأثير التطبيق f بالشكل 

التالي  لأن  

ستكون صورة العنصر 1  والتي
سيكون ناتجها 5 ليصبح ناتج الحل 

 
والآن سندخل الناتج الجديد 5 تحت تاثير التطبيق g
والذي قاعدة اقترانه هي 

وستكون صورة العنصر 5 الذي ادخلناه على التطبيق g بالشكل التالي 

وبالتالي سيكون الناتج النهائي لعملية التركيب هو 3 * 25 = 75 

وهكذا مع بقية العناصر ثم نستخرج النواتج النهائية لتمثل المدى 

مثال // 2
من الكتاب لتتوضح الصورة بشكل افضل 

الأفكار المهمة في موضوع تركيب التطبيقات " أولاً "

سنبدأ بشرح أهم الأفكار التي تاتي في الاسئلة المتعلقة بموضوع تركيب التطبيقات في كل الامتحانات الوزارية وغيرها
وسنبدأ بالفكرة الأولى هي الأسهل  

أولاً : ايجاد ناتج التركيب لأعداد معينة

مثال //
ليكن لدينا التطبيقين  f: N → N و g: N → N,
بحيث أن :  , 

جد   و 

لإيجاد 
بما أن أقرب تطبيق للعدد 3 هو g لذلك سنجعل التطبيق الابعد f خارج قوس وندخل العدد 3على التطبيق g ثم نجد ناتج 3 تحت تاثير التطبيق g وبعدها سندخل الناتج الجديد تحت تأثير التطبيق الابعد وهو هنا يمثل f لنستخرج الناتج النهائي للتركيب
وستكون خطوات الحل بالشكل التالي 

ولإيجاد  

بما أن أقرب تطبيق للعدد 5 هو f لذلك سنجعل التطبيق الابعد g خارج قوس وندخل العدد 5 على التطبيق f ثم نجد ناتج 5 تحت تاثير التطبيق f
 وبعدها سندخل الناتج الجديد تحت تأثير التطبيق الابعد وهو هنا يمثل g لنستخرج الناتج النهائي للتركيب 

وستكون خطوات الحل بالشكل التالي

مفهوم تركيب التطبيقات

تركيب تطبيقين هو عملية إخضاع نتيجة التطبيق الأول تحت تاثير التطبيق الثاني 
أي أنه بالنسبة للدالتين  f: X → Y و g: Y → Z,
فإن تركيبهما هو حساب قيمة g ليس عندما يكون مدخلها هو x، بل عندما يكون مدخلها هوناتج  (f(x.
ونرمز لتركيب الدالتين  أو  حيث  هو رمز التركيب

وحتى يتوضح مفهوم التركيب للتطبيقات لنتصور الدلة g تنتج من العنصر الذي يدخلها لها مكعباً  والدالة f تنتج من العنصر الذي يدخل لها شكلاً كما في الرسم ادناه

فإن تركيب الدالتين اعلاه اي ان   هنا ستكون بالشكل التالي 

مثال 

إذا كانت و  فإن  و  تعرفان كما يلي

انواع التطبيقات ( التطبيق التقابل )

أنواع التطبيق 
____________
ثالثاً : التطبيق التقابل 
يكون التطبيق تقابلاً إذا كان شاملاً ومتبايناً في نفس الوقت 
ويكون غير تقابل إذا كان غير شامل أو غير متباين 

فمثلاً في المثال ادناه يكون التطبيق تقابلاً لأنه شاملاً ومتبايناً 

أما التطبيق الذي في المثال التالي يكون التطبيق غير تقابل لأنه غير شامل 

أما التطبيق الذي في الصورة الثالثة فإنه غير تقابل لأنه غير متباين

أنواع التطبيق (التطبيق المتباين)

أنواع التطبيق 
____________
ثانياً التطبيق المتباين 
يكون التطبيق متبايناً إذا كان لكل عنصرين مختلفين في المجال فإن صورهما مختلفة في المجال المقابل 
أي أنه لايوجد عنصر من عناصر المجال المقابل يكون صورة لأكثر من عنصر من عناصر المجال . 
فمثلاً في الصورة التالية

يكون التطبيق متبايناً لأنه لايوجد عنصر من عناصر المجال المقابل يكون صورة لأكثر من عنصر في المجال 
أو ( لأنه لكل عنصرين مختلفين في المجال فإن صورهما مختلفة في المجال المقابل ) 


أما التطبيق الذي في الصورة التالية

 فإنه غير متباين لأن 2 عنصر من عناصر المجال المقابل هو صورة للعنصرين h و o من عناصر المجال . 
أو لأن h و o عنصرين مختلفين في المجال صورتهما متساوية وهي 2 في المجال المقابل

انواع التطبيق (التطبيق الشامل)

للتطبيقات ثلاثة انواع 
أولاً : التطبيق الشامل اي ان كل عنصر من عناصر المجال المقابل يعتبر صورة لعنصر من عناصر المجال او بتعبير آخر " يكون التطبيق شامل إذا كان المدى = المجال المقابل " 
في الصورة(الأولى) يكون التطبيق شامل لأن كل عنصر من عناصر المجال المقابل اصبح صورة لعنصر من عناصر المجال أو لآن المدى = المجال المقابل

وفي الصورة (الثانية) يكون التطبيق غير شامل لأن 8 عنصر من عناصر المجال المقابل ليس صورة لأي عنصر من عناصر المجال أو لأن المدى = { 2, 4, 5 } وهذا لا يساوي المجال المقابل الذي = {1,2,4,5,8}